Kraften i ränta på ränta är nästan omöjlig att förstå

Att det är svårt att greppa den otroliga kraften i ränta på ränta är ingen nyhet. Men idag på morgonen började jag klura på en grej kopplad till ämnet, och när jag satte mig vid datorn och räknade lite blev jag uppriktigt sagt förvånad. Trots att jag ägnat många år åt olika ränta på ränta-uträkningar. Det säger lite om hur stark denna kraft är när den kan fortsätta förvåna efter 20 år. Jag har ett liknande men enklare exempel i en av mina böcker, men jag tog det hela lite längre idag.

Det jag funderade kring var följande: Adam har 10 miljoner kronor och nysparar inget. Bertil har 1 miljon och sparar dessutom 100 000 kr om året. Båda får 10% årlig avkastning på sitt sparande. Jämna och fina siffror.

Den första och självklara slutsatsen blir ju att efter ett år har Adam dragit ifrån förmögenhetsmässigt. Detta då hans värde stigit 1 miljon samtidigt som Bertil har sett förmögenheten stiga med 200 000 kr tack vare 100 000 kr i avkastning och 100 000 kr i nysparande. Den spontana tanken blir alltså att avståndet mellan de två bara växer.

Men sen tänkte jag vidare. Låt säga att de båda investerar i en aktie utan utdelning (eller i en fond utan utdelning om du hellre tänker så). Priset per aktie är 1 000 kr och Adam har således 10 000 aktier och Bertil 1 000 aktier när det hela drar igång. Adam kommer alltid ha exakt 10 000 aktier eftersom han varken köper eller säljer, han ser bara bara värdet per aktie och därmed hans förmögenhet stiga med 10% om året. 

Bertil däremot köper nya aktier varje år. Första året blir det 100 nya aktier då hans sparande på 100 000 kr ska delas med priset per aktie på 1 000 kr. Hans förmögenhet växer med 20% det första året jämfört med Adams 10%. I takt med att priset per aktie går upp så kommer det bli färre och färre nya aktier för Bertils nysparande, men det här talar ju för att han någon gång borde komma ikapp Adam som ligger konstant på 10 000 stycken aktier. För varje ny aktie han köper kommer han ju lite närmare Adam.

Om vi stannar där och funderar lite. Vilken av teorierna tycker du stämmer?
1. Adam kommer bara dra ifrån och komma längre och längre ifrån Bertil för varje år som går förmögenhetsmässigt i all oändlighet. Ju längre tid vi drar ut det hela desto större blir skillnaden.
2. Bertil kommer sakta men säkert komma ikapp i takt med att han för varje år köper lite fler aktier medan Adam aldrig får några nya aktier. Till slut har båda 10 000 aktier och samma förmögenheten och året efter kommer Bertil passera om han även det året nysparar och köper lite nya aktier.

Stanna gärna upp och fundera lite nu innan du läser vidare. Kommer Bertil någonsin ikapp? Dra gärna ut det hela flera hundra år, även om de två kanske inte lever så länge.

Ok. Så här blir det med ovanstående förutsättningar:

Bertil har från början 10% av Adams förmögenhet och kommer lite närmare mätt i procent de första åren. År 2 är förmögenheten 10,9% (1,2 miljoner jämfört med 11 miljoner) 

Efter 10 år uppgår förmögenheten till 15,8% och efter 20 år till 18,3%. Men här börjar ränta på ränta kicka in på riktigt. Aktien blir så dyr att stackars Bertils nysparande knappt märks. Efter 25 år når Bertil 19,0% och efter 50 år är han uppe i 19,9%. Sen stannar det av helt och även om vi jobbar med dubbla decimaler så står vi still på 20,00% både efter 85 och 200 år. Dvs på 115 år har inte Bertils nysparande på 100 000 kr om året fört honom ens 0,01 procentenheter närmare Adam. Han kommer helt enkelt aldrig ikapp och värdet i kronor växer som redan konstaterat år för år från dag 1.

Men vi testar en grej till och gör lite förändringar som gynnar Bertil. 

• Vi sänker Adams startvärde till 5 miljoner. Dvs bara 5 gånger mer än Bertil.
• Vi sänker årliga avkastningen på börsen till 7%.
• Vi ökar Bertils sparande med hans löneökning om 3% per år. Detta borde delvis kompensera för att aktien blir dyrare för varje år och ge i alla fall lite nya aktier även efter många år.

Men inte ens då kommer Bertil någonsin ikapp. Han börjar på 20% av Adams pengar. Efter bara 7 år är han uppe i 30% och det växer på fint för att efter 25 år vara uppe i ungefär 50%. Sen stannar det av och efter 100 år är det 70,3% och efter 200 år 71,4% (det hjälper inte att dra ut det till 400 år heller, utan det stannar av på 71,5%). 

Under dessa 200 år har Bertil stoppat in totalt 1,2 miljarder i nysparande (då sparandet höjs med 3% om året uppgår det efter 200 år till 35 miljoner om året jämfört med 100 000 kr under första året). Men dessa 1,2 miljarder räcker alltså inte för att täppa igen försprånget på 4 miljoner kronor som rådde dag 1. Det här förvånade mig faktiskt.